三重积分

Triple Integral

立体的质量，基本思路：将三重积分化为三次积分

\underset{Ω}{∭} f (x, y, z) d V = lim_{λ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}, η_{i}, ζ_{i}) Δ V_{i}

先将 $f (x, y, z)$ 看作 $z$ 的函数，对 $z$ 积分得到 $F (x, y)$ ，然后计算在 $D_{x y}$ 上的二重积分，再将二重积分化为二次积分得到三重积分的计算公式：

\begin{array}{r} \underset{Ω}{∭} f (x, y, z) d v = \iint_{D_{x y}} F (x, y) d σ = \int_{a}^{b} d x \int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)} d y \int_{z_{1} (x, y)}^{z_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z \end{array}

先计算一个 $D_{x y}$ 上的二重积分，再计算一个的定积分：

\begin{array}{r} \underset{Ω}{∭} f (x, y, z) d v = \int_{c_{1}}^{c_{2}} d z \iint_{D_{z}} f (x, y, z) d x d y \end{array}

\begin{array}{r} {\begin{cases} x = ρ \cos θ \\ y = ρ \sin θ \\ z = z \end{cases} \Rightarrow d x d y d z \to ρ d ρ d θ d z \end{array}

\begin{array}{r} \underset{Ω}{∭} f (x, y, z) d v = \underset{Ω}{∭} F (ρ, θ, z) ρ d ρ d θ d z \end{array}

积分次序： $d z \to d ρ \to d θ$
先对 $z$ 积分，得到极坐标形式的二重积分，计算三重积分

\begin{aligned} {\begin{cases} x = r \sin φ \cos θ \\ y = r \sin φ \sin θ \\ z = r \cos φ \end{cases} \Rightarrow d x d y d z & \to r^{2} \sin φ d r d φ d θ \end{aligned}

\begin{array}{r} \underset{Ω}{∭} f (x, y, z) d x d y d z = \underset{Ω}{∭} F (r, φ, θ) r^{2} \sin φ d r d φ d θ \end{array}

$d v = r^{2} \sin φ d r d φ d θ$ ，积分次序： $d r \to d φ \to d θ$

注意球面坐标是以球心为参考系的，从球心积分，如果球心不在坐标原点 $(a, b, c)$ ，注意换元为：

{\begin{cases} x - a = r \sin φ \cos θ \\ y - b = r \sin φ \sin θ \\ z - c = r \cos φ \end{cases}